Question

3．已知定义在R上的函数f（x）=e^x+mx²-m（m＞0），当x₁+x₂=1时，不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，则实数x₁的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 通过变形可知问题转化为不等式f（x₁）-f（1-x₁）＞f（1）-f（1-1）恒成立，设g（x）=f（x）-f（1-x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．

解答 解：∵不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，
∴不等式f（x₁）-f（x₂）＞f（1）-f（0）恒成立，
又∵x₁+x₂=1，
∴不等式f（x₁）-f（1-x₁）＞f（1）-f（1-1）恒成立，
设g（x）=f（x）-f（1-x），
∵f（x）=e^x+mx²-m（m＞0），
∴g（x）=e^x-e^1-x+m（2x-1），
则g′（x）=e^x+e^1-x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，
∴不等式g（x₁）＞g（1）恒成立，
∴x₁＞1，
故选：D．

点评 本题是一道关于导数的综合题，考查转化与化归思想，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．