Question

12．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-xlnx（x＞0）}\\{-{x^2}-\frac{3}{2}x（x≤0）}\end{array}}\right.$有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y-1=0上，则实数k的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，1）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{1}{3}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 将问题转化为直线y=kx+1与f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上各有两个交点，借助函数图象与导数的几何意义求出y=kx+1分别与f（x）的两段图象相切时的斜率即可得出k的范围．

解答 解：直线kx+y-1=0关于直线y=1的对称直线为-kx+y-1=0，
则直线-kx+y-1=0与y=f（x）的函数图象有4个交点，
当x＞0时，f′（x）=1-lnx，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
作出y=f（x）与直线-kx+y-1=0的函数图象，如图所示：

设直线y=kx+1与y=2x-xlnx相切，切点为（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{1-ln{x}_{1}=k}\\{2{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{1}=k{x}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得：x₁=1，k=1，
设直线y=kx+1与y=-x²-$\frac{3}{2}x$（x＜0）相切，切点为（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}-\frac{3}{2}=k}\\{-{{x}_{2}}^{2}-\frac{3}{2}{x}_{2}=k{x}_{2}+1}\end{array}\right.$，解得x₂=-1，k=$\frac{1}{2}$．
∵直线y=kx+1与y=f（x）有4个交点，
∴直线y=kx+1与y=f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上各有2个交点，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜1．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．