Question

7．已知函数f（x）=mlnx+$\frac{1}{x}$+2x，x∈[2，e]．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的m∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≤（n+2）x恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为mlnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，令g（m）=mlnx+$\frac{1}{x}$-nx，由已知得只需g（1）≤0，得到n≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x∈[2，e]），根据函数的单调性求出n的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=-lnx+$\frac{1}{x}$+2x，
f′（x）=$\frac{（2x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$＞0在[2，e]恒成立，
故函数f（x）在[2，e]上递增，无递减区间；
（Ⅱ）若f（x）≤（n+2）x，则mlnx+$\frac{1}{x}$+2x≤（n+2）x，则mlnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，
令g（m）=mlnx+$\frac{1}{x}$-nx，由已知得只需g（1）≤0即lnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，
若对任意x∈[2，e]，lnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0恒成立，
即n≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x∈[2，e]），则h′（x）=$\frac{x-xlnx-2}{{x}^{3}}$，
设m（x）=x-xlnx-2，x∈[2，e]，
则m′（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0，
故m（x）在[2，e]递减，m（x）≤m（2）=-2ln2＜0，即h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，e]递减，∴h（x）_max=h（2）=$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，
即n≥$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，
故实数n的范围是[$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．