Question

16．已知函数f（x）=|x-1|，关于x的不等式f（x）＜3-|2x+1|的解集记为A．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）已知a，b∈A，求证：f（ab）＞f（a）-f（b）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值符合，即可求A；
（Ⅱ）利用作差法，即可证明：f（ab）＞f（a）-f（b）．

解答 （I）解：由f（x）＜3-|2x+1|得，|x-1|+|2x+1|＜3，
即$\left\{\begin{array}{l}x≤-\frac{1}{2}\\ 1-x-2x-1＜3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}＜x＜1\\ 1-x+2x+1＜3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+2x+1＜3\end{array}\right.$，…（3分）
解得，$-1＜x≤-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}＜x＜1$．
所以，集合A={x∈R|-1＜x＜1}．…（5分）
（II）证明：∵a，b∈A，∴-1＜ab＜1．
∴f（ab）=|ab-1|=1-ab，f（a）=|a-1|=1-a，f（b）=|b-1|=1-b．…（7分）
∵f（ab）-（f（a）-f（b））=1-ab-1+a+1-b=（1-a）（1-b）＞0．…9分
∴f（ab）＞f（a）-f（b）．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的计算能力，属于中档题．