Question

19．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的值为（　　）

• A． -$\frac{15}{2}$
• B． -2
• C． $\frac{15}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系：
B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），A（$\frac{3}{2}$，0），C（-$\frac{3}{2}$，0）．$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{CA}$=（3，0）
$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），

∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$）
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=-$\frac{1}{2}$$-\frac{3}{2}$=-2．
故选：B．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．