Question

14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a²-c²=ac-bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，且sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b²=ac，且a²-c²=ac-bc，利用余弦定理可得∠A的大小．
（Ⅱ）利用三角形内角和定理sinA=sin（B+C），根据和与差的公式和二倍角公式化简，利用正余弦定理求解b，c即可求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由a，b，c是一个等比数列，
得：b²=ac，
∵a²-c²=ac-bc，
∴bc=b²+c²-a²
那么：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$
（Ⅱ）∵sinA+sin（B-C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，
得：2sinBcosC=4sinCcosC．
即4sinCcosC-2sinBcosC=0，
可得：cosC=0或sinB=2sinC．
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{π}{2}$或b=2c．
①当C=$\frac{π}{2}$，由题意，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
由正弦定理得：$\frac{c}{sin\frac{π}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$，
∴c=2．
故由勾股定理得：b=1．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
②当b=2c时，由题意，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
所以由余弦定理得：那么：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
可得：c=1，b=2．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×2×sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
综上①②得：△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了等比数列、正余弦定理的运用能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．