Question

4．在△ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且$C=\frac{π}{3}$，c=4．
（Ⅰ）若$sinA=\frac{3}{4}$，求a；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于$4\sqrt{3}$，求a，b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理即可计算得解a的值．
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求ab=16，利用余弦定理可得，16=a²+b²-ab，联立即可解得a，b的值．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$可知：$\frac{a}{{\frac{3}{4}}}=\frac{4}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，
从而求得$a=2\sqrt{3}$…（6分）
（Ⅱ）由△ABC的面积等于$4\sqrt{3}$，可知${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=4\sqrt{3}$，
从而ab=16①，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC可得，16=a²+b²-ab②，
联立①②得a=b=4．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．