Question

12．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E-ABCD（如图2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求$\frac{EF}{EA}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．
（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{2}$．

解答 （本小题共14分）
证明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．
因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…（4分）
解：（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO．
因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．
因为 平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO?平面ADE，
所以EO⊥平面ABCD．
以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．
由已知，得E（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），C（-1，1，0）．
所以$\overrightarrow{CE}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（2，1，0）．
设平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=2x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$）．
又平面ADE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为$\frac{π}{4}$．…（10分）
（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{2}$．
理由如下：
设BE的中点为G，连接CG，FG，
则FG∥AB，FG=$\frac{1}{2}AB$．
因为AB∥CD，且$CD=\frac{1}{2}AB$，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．
因为CG?平面BCE，且DF?平面BCE，
所以DF∥平面BCE..…（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．