Question

9．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-sin（x+π）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，解x可得f（x）的定义域．利用二倍角和诱导公式及辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x），x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，
解得：x≠$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z}．
函数f（x）=2$\sqrt{3}$tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-sin（x+π）．
化解可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+sinx．
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx．
=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=2π$．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到2sin（x$-\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）；
即g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）
∵x∈[0，π]时，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）取得最大值为2．
∴当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）取得最小值为-1．
故得函数g（x）在区间[0，π]上的最大值是2，最小值是-1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．