Question

【题目】已知函数f（x）=loga（ax﹣1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ax﹣1＞0，得ax＞1．

当a＞1时，x＞0；

当0＜a＜1时，x＜0．

所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．

（2）解：当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．

因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）

故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．

∵f（x）＜f（1）；

∴ax﹣1＜a﹣1，

∵a＞1，∴x＜1

（3）解：∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ 在[1，3]上是单调增函数，

∴g（x）min=﹣log23，

∵m＜g（x），

∴m＜﹣log23

【解析】1、本题考查的是对数函数的定义域以及指数不等式的解法，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．
2、本题考查的是对数不等式的解法因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2），由对数函数的增减性可得

f（x）＜f（1）；ax﹣1＜a﹣1，a＞1，∴x＜1。
3、本题考查的是复合函数的单调性问题，由g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ ) 在[1，3]上是单调增函数,g（x）min=﹣log23，m＜g（x），m＜﹣log23.

【考点精析】认真审题，首先需要了解指数函数的图像与性质(a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点;ax=a，即x=1时，y等于底数a;在0<a<1时:x<0时，ax>1,x>0时，0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时，ax>1)．