Question

【题目】已知 ，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的方程f（x）=（a﹣1）4x
（3）设h（x）=2﹣xf（x）， 时，对任意x1 ， x2∈[﹣1，1]总有 成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令log2x=t即x=2t，则f（t）=a（2t）2﹣22t+1﹣a，

即f（x）=a22x﹣22x+1﹣a，x∈R

（2）解：由f（x）=（a﹣1）4x化简得：22x﹣22x+1﹣a=0即（2x﹣1）2=a，

当a＜0时，方程无解，

当a≥0时，解得 ，

若0≤a＜1，则 ，

若a≥1，则

（3）解：对任意x1，x2∈[﹣1，1]总有 成立，等价于

当x∈[﹣1，1]时， ， ，

令2x=t，则 ，

令 ，

①当a≥1时， 单调递增，

此时 ， ， 即 （舍），

②当 时， 单调递增

此时 ， ， 即 ∴ ，

③当 时，

在 上单调递减，在 上单调递增

且 ∴ ， ，

∴ 即 ，

∴ ，

综上：

【解析】1、由题意可得22x﹣22x+1﹣a=0即（2x﹣1）2=a，对a 分情况讨论可得当0≤a＜1，则 ，当a≥1，
2、由题意可得，分情况讨论。①当a≥1时，a ≤ （舍） ②当 ≤ a < 1 时，a= ③当 ≤ a < 时, a ≤ ，∴ ≤ a < .
【考点精析】关于本题考查的函数的零点，需要了解函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能得出正确答案．