Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设 ，且a＞1，讨论函数g（x）的单调性和极值点．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．

当a=3时， ，

f'（1）=﹣1，f（1）=0．

所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1=0

（2）解： ，x＞0，a＞1，

，

令F（x）=x2+2（1﹣a）x+1，其对称轴为x=a﹣1＞0，△=4a（a﹣2）

①当△≤0，即1＜a≤2，F（x）≥0，g'（x）≥0，

g（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．

②当△＞0，即a＞2，

令g'（x）＞0，则 ，

令g'（x）＜0，则

所以，增区间为

减区间为

所以，极大值点是 ，极小值点是

综上：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．

当a＞2时，f（x）在 上单调递增，

在 上单调递减；

极大值点是 ，极小值点是

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．