Question

已知函数f(x)=

eax

x-1

．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f^′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．

解答：解：当a=1时，f(x)=

ex

x-1

，则f′(x)=

ex(x-2)

(x-1)2

．
又f（0）=

e0

0-1

=-1，f′(0)=

e0(0-2)

(0-1)2

=-2，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数f(x)=

eax

x-1

，得：f′(x)=

eax[ax-(a+1)]

(x-1)2

．
当a=0时，f′(x)=

-1

(x-1)2

＜0，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f^′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x=

a+1

a

，
当a＞0时，x=

a+1

a

＞1，
所以f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	（-∞，1）	1	(1， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，+∞)
f′（x）	-	无定义	-	0	+
f（x）	减函数		减函数	极小值	增函数

所以f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，

a+1

a

），
单调递增区间为(

a+1

a

，+∞)，
当a＜0时，x=

a+1

a

＜1，
所以所以f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	(-∞， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	无定义	-
f（x）	增函数	极大值	减函数		减函数

所以f（x）的单调递增区间为(-∞，

a+1

a

)，
单调递减区间为(

a+1

a

，1)，（1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．