Question

13．已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用二项式系数的性质求得n=9，再利用（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹以及通项公式求得a₂的值．
（2）在所给的等式中，令x=1，可得a₀=-1，再令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =1．

解答 解：（1）由）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，可得2ⁿ=512，∴n=9．
∵（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，
∴a₂=${C}_{9}^{2}$•（-1）⁷•2²=-144．
（2）在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹中，令x=1，可得a₀=-1．
再令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n =2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．