Question

【题目】如图，四棱锥中，，底面是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且.

（1）若MN∥平面PAD；

（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】（1）当时，在PA上取点E，使得，连接EN，DE，

，

EN∥AB，且，

M为CD的中点，CD=2，

，

又AB∥CD，EN∥DM，EN=DM，

四边形DMNE是平行四边形，

MN∥DE，

又 平面PAD，MN平面PAD，

MN∥平面PAD．

（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD．以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz．

则D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，2，0），P（0，0，4），

∴，

．

该平面BC的法向量为，则由，得，令z=1，得．

该直线AN与平面PBC所成的角为，则

，解得

∴，

设直线AD与直线CN所成的角为，

则．

所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为．