【题目】已知函数,
.
(1)若在
处取得极值,求
的值;
(2)设,试讨论函数
的单调性;
(3)当时,若存在正实数
满足
,求证:
.
【答案】(1).
(2)见解析.
(3)证明见解析.
【解析】
(1)先求导,再令
即得a的值,再验证.(2)先求导得
,再对a分类讨论得函数
的单调性.(3)先化简已知得到
,再令
,
,求得
的最小值为1,解不等式即得
.
(1)解:因为,所以
,
因为在
处取得极值,
所以,解得
.
验证:当时,
,
易得在
处取得极大值.
(2)解:因为,
所以.
①若,则当
时,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,
,
函数
在
上单调递减.
②若,
,
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减;
当时,
恒成立,所以函数
在
上单调递增;
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(3)证明:当时,
,
因为,
所以,
即,
所以.
令,
,
则,
当时,
,所以函数
在
上单调递减;
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
所以函数在
时,取得最小值,最小值为
.
所以,
即,所以
或
.
因为为正实数,所以
.
当时,
,此时不存在
满足条件,
所以.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠BCD=60°,点E是BC边
的中点,AC,DE交于点O,,且PO⊥平面ABCD.
(1)求证:PD⊥BC;
(2)在线段AP上找一点F,使得BF∥平面PDE,并求此时四面体PDEF的体积.
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【题目】设数列
的前
项和,对任意
,都有
(
为常数).
(1)当时,求
;
(2)当时,
(ⅰ)求证:数列是等差数列;
(ⅱ)若对任意,必存在
使得
,已知
,且
,求数列
的通项公式.
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【题目】因市场战略储备的需要,某公司月
日起,每月
日购买了相同金额的某种物资,连续购买了
次.由于市场变化,
月
日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面
个折线图中,所有可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是( )
A.①②B.①③C.②③D.③
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1AB
AC
2,AB⊥AC,M是棱BC的中点点P在线段A1B上.
(1)若P是线段A1B的中点,求直线MP与直线AC所成角的大小;
(2)若是
的中点,直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段BP的长度.
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【题目】若函数同时满足:⑴对于定义域上的任意
,恒有
; ⑵对于定义域上的任意
,当
时,恒有
,则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中: ①
,②
, ③
,④
,能被称为“理想函数”的有_____________(填相应的序号).
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【题目】如图,四棱锥中,
,底面
是梯形,AB∥CD,
,AB=PD=4,CD=2,
,M为CD的中点,N为PB上一点,且
.
(1)若MN∥平面PAD;
(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为,求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.
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