Question

【题目】已知函数，.

(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

(2)证明:方程有且只有一个实数根.

Answer 1

【答案】(1) (2) 见解析

【解析】

（1）依题意,得恒成立,即在区间内恒成立；

（2）方程有且只有一个实数根即证明函数的图象与直线有且只有一个交点.令，研究其图象变化趋势即可.

(1)由题得,函数的定义域为

由，

得，

依题意,得恒成立,

所以在区间内恒成立,

所以.

而 ,当且仅当,

即时，等号成立，

故，

因此实数的取值范围为.

(2)令,即,

即 ，

也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点.

由，

得

记 ,

所以

令 ，

当时, ,在区间内单调递减;

当时, ,在区间内单调递增，

所以当时, 有有极小值 ，

故，

因此在区间内单调递增，

又因为当,且时, ,当时, ,

因此函数的图象与直线有且只有一个交点,

故方程有且只有一个实数根.