【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在极坐标系中,点,
,
是线段
的中点,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程是
(
为参数).
(1)求点的直角坐标,并求曲线
的普通方程;
(2)设直线过点
交曲线
于
两点,求
的值.
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【题目】若函数同时满足:⑴对于定义域上的任意
,恒有
; ⑵对于定义域上的任意
,当
时,恒有
,则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中: ①
,②
, ③
,④
,能被称为“理想函数”的有_____________(填相应的序号).
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【题目】如图,四棱锥中,
,底面
是梯形,AB∥CD,
,AB=PD=4,CD=2,
,M为CD的中点,N为PB上一点,且
.
(1)若MN∥平面PAD;
(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为,求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.
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【题目】东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活,向祖国母亲的生日献礼,摄影协会收到了来自社会各界的大量作品,打算从众多照片中选取100张照片展出,其参赛者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如图:
(1)求频率分布直方图中的值,并根据频率分布直方图,求这100位摄影者年龄的样本平均数
和中位数
(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象,摄影协会按照分层抽样的方法,计划从这100件照片中抽出20个最佳作品,并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数:
年龄 | |||||
人数 |
②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册,求这2人至少有一人的年龄在
的概率.
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【题目】函数的部分图像如图所示,将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)在中,角A,B,C满足
,且其外接圆的半径R=2,求
的面积的最大值.
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【题目】为了参加某数学竞赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下.
理科:79,81,81,79,94,92,85,89
文科:94,80,90,81,73,84,90,80
画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图;
(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好;
(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训,求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率.
(参考公式:样本数据x1,x2,…,xn的方差:
s2= [(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2],其中
为样本平均数)
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【题目】已知椭圆过点
,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线
交椭圆于
,
两点,试问:是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图),并且每一排钉子数目都比上一排多一个,一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两铁钉的间隙,又碰到下一排铁钉.如此继续下去,在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
(Ⅰ)理论上,小球落入4号容器的概率是多少?
(Ⅱ)一数学兴趣小组取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求
的分布列与数学期望.
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