Question

8．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x-2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （$\root{3}{4}$，2）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＜3}\\{{log}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x-2），
∴f（x-2）=f（x+2）=f（2-x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．
当 x∈[0，2]时，-x∈[-2，0]，此时f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1=f（x），即f（x）=2^x-1，
且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log_a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：
由在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，
可得函数f（x）和y=log_a（x+2）图象有3个交点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＜3}\\{{log}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，求得$\root{3}{4}$＜a＜2，
故选：D．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．