Question

19．已知x²+y²=10，则3x+4y的最大值是5$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 令z=3x+4y，可得直线y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y轴上的截距为$\frac{z}{4}$，当直线和圆x²+y²=10相切时，$\frac{z}{4}$取得最值，z取得最值．根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出z的值，从而得到z的最大值．

解答 解：令z=3x+4y，即y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$，故直线y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y轴上的截距为$\frac{z}{4}$，
故当直线y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$ 在y轴上的截距最大时，z最大．
根据题意可得，当直线和圆x²+y²=10相切时，$\frac{z}{4}$取得最值．
由$\sqrt{10}$=$\frac{|0+0-z|}{5}$ 可得z=±5$\sqrt{10}$，故z的最大值为5$\sqrt{10}$．
故答案为：5$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查简单的线性规划问题，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．