Question

9．点P是椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1上一点，F是椭圆的右焦点，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}}$），|${\overrightarrow{OQ}}$|=4，则点P到抛物线y²=15x的准线的距离为（　　）

• A． $\frac{15}{4}$
• B． $\frac{15}{2}$
• C． 15
• D． 10

Answer 1

分析 由椭圆的方程设椭圆的焦点坐标P（5cosα，3sinα），求得向量$\overrightarrow{OQ}$，${\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OF}}$，根据向量的模长公式，求得$cosα=\frac{3}{4}$，求得点P的横坐标，由抛物线y²=15x的准线方程为：x=-$\frac{15}{4}$，即可求得点P到抛物线y²=15x的准线的距离．

解答 解：设P（5cosα，3sinα），由$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}}）\;\;，\;\;|{\overrightarrow{OQ}}|=4$，
∴${（{\frac{4+5cosα}{2}}）^2}+{（{\frac{3cosα}{2}}）^2}=16$，
即16cos²α+40cosα-39=0，
解得：$cosα=\frac{3}{4}$或$cosα=-\frac{13}{4}$（舍去），
即点P的横坐标为$\frac{15}{4}$，
抛物线y²=15x的准线方程为：x=-$\frac{15}{4}$，
∴点P到抛物线y²=15x的距离为$\frac{15}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的参数方程，考查向量的坐标表示，抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．