Question

已知向量

a

=（-cosx，2sin

x

2

），

b

=（cosx，2cos

x

2

），f（x）=2-sin²x-

1

4

|

a

-

b

|²．
（1）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，继而将所得图象上的各点向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（C）=2f（A），a=

5

，b=3，求c及cos（A+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可求f（x）=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx，根据函数的图象变换法则可得g（x）=sin（2x-

π

3

），利用正弦函数的单调区间，可求g（x）的单调递增区间；
（2）由已知可得sinC=2sinA，结合正弦定理可得，c=2a=2

5

，由余弦定理可求cosA，进而可求sinA，然后由两角和的余弦公式可求．

解答： 解：（1）∵

a

=（-cosx，2sin

x

2

），

b

=（cosx，2cos

x

2

），
∴

a

-

b

=（-2cosx，2sin

x

2

-2cos

x

2

）
∴f（x）=2-sin²x-

1

4

|

a

-

b

|²
=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx，
由题意，g（x）=sin2（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴g（x）的单调递增区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z
（2）由f（x）=sinx及f（C）=2f（A）可得sinC=2sinA
由正弦定理可得，c=2a=2

5

．
由余弦定理可得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2 5

5

，
于是sinA=

5

5

，
∴cos（A+

π

4

）=cosAcos

π

4

-sinAsin

π

4

=

10

10

．

点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的单调增区间的求法，二倍角公式及同角平方关系及两角和的余弦公式的综合应用，是常考题型