Question

已知△ABC，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，满足：2

3

sin²

A+B

2

=sinC+

3

+1．
（1）求角C的大小．
（2）若

CA

•

CB

=

3

，C=

8-2 3

，求a、b的值（a＞b）．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，再利用余弦定理列出关系式，联立即可求出a与b的值．

解答： 解：（1）由题设可得：

3

[1-cos（A+B）]=sinC+

3

+1，即

3

+

3

cosC=sinC+

3

+1，
整理得：sinC-

3

cosC=2sin（C-

π

3

）=-1，
∴sin（C-

π

3

）=-

1

2

，
∵0＜C＜π，∴-

π

3

＜C-

π

3

＜

2π

3

，
∴C-

π

3

=-

π

6

，即C=

π

6

；
（2）由

CA

•

CB

=

3

，得到bacos

π

6

=

3

，即ab=2①，
由余弦定理得，c²=8-2

3

=a²+b²-2abcos

π

6

，
整理得：8-2

3

=（a+b）²-4-2

3

，即a+b=2

3

②，
联立①②，解得

a= 3 +1 b= 3 -1

．

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．