Question

在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ为参数，r＞0）以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

．
（Ⅰ）写出直线l和圆O的普通方程；
（Ⅱ）并求出r为何值时，直线l与圆O相切．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

展开

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=

2

2

，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
由圆O的参数方程为

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ为参数），变形利用同角三角函数的平方关系即可得出．
（II）利用点到直线的距离公式公式先求出圆心O(-

2

，-1)到直线l的距离d，当r=d时直线l与圆O相切．

解答： 解：（I）由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化为

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=

2

2

，
即ρsinθ+ρcosθ=1，∴普通方程为x+y=1．
由圆O的参数方程为

x=- 2 +rcosθ y=-1+rsinθ

，（θ为参数），化为(x+

2

)2+(y+1)2=r2．即为圆的普通方程．
（II）圆心O(-

2

，-1)到直线l的距离d=

|- 2 -1-1|

2

=1+

2

，
当r=d=1+

2

时，直线l与圆O相切．

点评：本题考查了极坐标方程与参数方程化为普通方程、直线与圆相切的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．