Question

10．设a＜0，记函数f（x）=a$\sqrt{1{-x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$．设t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，求t的取值范围，并把f（x）的最大值表示为t的函数m（t）．

Answer 1

分析 令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由${t}^{2}=2+2\sqrt{1-{x}^{2}}∈[2，4]$，且t≥0…①，可得t的取值范围是[$\sqrt{2}$，2]，进而得m（t）的解析式，直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的对称轴，分类讨论，利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．

解答 解：∵t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵${t}^{2}=2+2\sqrt{1-{x}^{2}}∈[2，4]$，且t≥0…①，∴t的取值范围是[$\sqrt{2}$，2]．
由①得：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}{t}^{2}-1$，
∴m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]．
直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的对称轴
当a＜0时，函数y=m（t）（t∈[$\sqrt{2}$，2]）的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（0，$\sqrt{2}$]即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g（a）=m（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]即a∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，g（a）=m（-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{2a}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（2，+∞）即a∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a＞-\frac{1}{2}}\\{-a-\frac{1}{2a}，-\frac{\sqrt{2}}{2}＜a≤-\frac{1}{2}}\\{\sqrt{2}，a≤-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的最值，考查换元法，考查分类讨论的数学思想，正确换元是关键．