Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先整理函数解析式，再根据正弦函数的单调性以及最小正周期的求法即可得到问题的结论．
（Ⅱ）由（I）的解析式，结合三角函数的单调性求函数在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=$\frac{1}{2}$（sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
则sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，所以f（x）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
于是当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的取值范围为[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换化简函数解析式及利用求周期的公式求周期，以及根据三角函数的单调性求三角函数的值域，属于三角函数的基础题，考查的知识点点相当全面，知识性较强．