Question

15．给出以下命题：
①双曲线$\frac{y^2}{2}$-x²=1的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x；
②命题P：?x∈R⁺，sinx+$\frac{1}{sinx}$≥1是真命题；
③已知线性回归方程为$\widehaty$=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，则P（-1＜ξ＜0）=0.6；
则正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，可判断①；分析出x∈R⁺时，sinx+$\frac{1}{sinx}$的范围，可判断②；根据回归系数的几何意义，可判断③；求出P（-1＜ξ＜0），可判断④．

解答 解：①双曲线$\frac{y^2}{2}$-x²=1的焦点在y轴上，
a=$\sqrt{2}$，b=1，
故其渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x；故正确；
②命题P：?x∈R⁺，sinx∈[-1，1]，
sinx+$\frac{1}{sinx}$∈[-2，0）∪（0，2]；故错误
③已知线性回归方程为$\widehaty$=3+2x，
当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；故正确；
④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），
若P（ξ＞1）=0.2，
则P（-1＜ξ＜0）=$\frac{1}{2}$（1-2×0.2）=0.3；故错误；
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了双曲线的性质，对勾函数的图象和性质，线性回归分析，正态分布，难度中档．