Question

如图，在五面体ABCDEF中，，，，

（Ⅰ）求异面直线BF与DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段CE上是否存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在，点M为CE中点。

试题分析：解法一：建立如图所示的直角坐标系，                              ……2分

不妨设AB＝１
则     
（Ⅰ）
                                ……5分
异面直线BF与DE所成角的余弦值为．                                  ……6分
（Ⅱ）设平面CDE的一个法向量为

得
     令                           ……8分
设存在点M满足条件，由

　                                                       ……10分
直线AM与平面CDE所成角的正弦值为
 
故当点M为CE中点时，直线AM与面CDE所成角的正弦值为．                 ……13分
解法二：（Ⅰ）不妨设AB＝１，且

∴∠CED异面直线BF与DE所成角      
CE=BF=,ED=DC=,

所以，异面直线BF与DE所成角的余弦值为                                  ……6分
（Ⅱ）令A到平面CDE距离为h，在AD上取点N，使得EF=AN，连结EN
，为平行四边形
                                          ……8分

                                                 ……10分
令AM与平面CDE所成角为，
过M作MG//EF交FB于G
在平行四边形EFBC中，MG=BC=1
中
解得：，为FB的中点
MG//EF，为EC的中点。                                               ……13分
点评：从近些年看，以多面体为载体，重点考查直线与平面的位置关系一直是高考立体几何命题的热点．因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起