Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求a，b的值；   
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值；
（2）令f′（x）＞0，可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0，可求出函数的单调减区间．

解答：解：∵f′（x）=3x²+6ax+3b，函数f（x）在x=2取得极值，
∴f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0，即4a+b+4=0…①，
∵图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3，即2a+b+2=0…②，
联解①②可得a=-1，b=0；
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，解得0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．