Question

16．已知（$\frac{1}{2}$-ix）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰（i为虚数单位），则a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{4}$+…+$\frac{{a}_{10}}{{2}^{10}}$=$-\frac{i}{32}$．

Answer 1

分析 利用赋值法，以及二项式定理的简单性质，求解即可．

解答 解：（$\frac{1}{2}$-ix）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰（i为虚数单位），
令x=$\frac{1}{2}$，可得（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i）¹⁰=a₀+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{4}$a₂+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$a₁₀（i为虚数单位），
而（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i）¹⁰=$\frac{{[（1-i）}^{2}]^{5}}{{2}^{10}}$=$\frac{{[-2i]}^{5}}{{2}^{10}}$=$-\frac{i}{32}$．
故答案为：$-\frac{i}{32}$．

点评 本题考查二项式定理的应用，赋值法的应用，考查计算能力．