Question

7．设F为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点，点$p（1，\frac{3}{2}）$在椭圆E上，直线l₀：3x-4y-10=0与以原点为圆心?以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q．问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点$p（1，\frac{3}{2}）$在椭圆E上，直线l₀：3x-4y-10=0与以原点为圆心?以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切，建立方程求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），直线PQ的方程为$y=k（x-1）+\frac{3}{2}$，分别与椭圆方程联立，求出|AB|，|PQ|．若四边形PABQ的对角线互相平分，则四边形PABQ为平行四边形，可得|AB|=|PQ|，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{{|{-10}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=2}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{9}{4}}}{b^2}=1}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.}\right.$
所以椭圆E 的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．…（5分）
理由如下：由题可知直线l、PQ的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-1），直线PQ的方程为$y=k（x-1）+\frac{3}{2}$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0
则$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{△_1}}}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{144（{1+{k^2}}）}}}{{3+4{k^2}}}$，…（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=k（x-1）+\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$消去y得（3+4k²）x²-（8k²-12k）x+（4k²-12k-3）=0
则$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{△_2}}}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{144（{\frac{1}{4}+k+{k^2}}）}}}{{3+4{k^2}}}$，…（9分）
若四边形PABQ的对角线互相平分，则四边形PABQ为平行四边形，
∴|AB|=|PQ|，
∴$1+{k^2}=\frac{1}{4}+k+{k^2}⇒k=\frac{3}{4}$
∴直线l的方程为3x-4y-3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，有难度．