Question

12．证明：
（1）${C}_{m+2}^{n}$=${C}_{m}^{n}$+2${C}_{m}^{n-1}$+${C}_{m}^{n-2}$；
（2）${C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$．

Answer 1

分析 首先利用组合数公式证明（2），嗯哼利用（2）的结论证明（1）．

解答 证明：（2）因为${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=$\frac{n!}{m!（n-m）!}+\frac{n!}{（m-1）!（n-m+1）!}$=$\frac{n!（n-m+1）+n!m}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{n!（n+1）}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n-m+1）!}$；
又${C}_{n+1}^{m}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n-m+1）!}$，所以${C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$成立．
（1）因为${C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$，所以${C}_{m}^{n}$+2${C}_{m}^{n-1}$+${C}_{m}^{n-2}$=（${C}_{m}^{n}+{C}_{m}^{n-1}$）+（${C}_{m}^{n-1}+{C}_{m}^{n-2}$）=${C}_{m+1}^{n}+{C}_{m+1}^{n-1}$=${C}_{m+2}^{n}$；所以等式成立．

点评 本题考查了组合数公式以及性质的运用；熟练掌握公式是关键．