Question

18．已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：x²-$\frac{y^2}{2}$=1的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．设点M（4，3），记直线PM、QM的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值，求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，确定c，利用椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a=2b，利用a²=b²+c²，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，其左右焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，
∴a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
设直线l与椭圆E交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴k₁+k₂=$\frac{3-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}+\frac{3-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$=$\frac{24-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{16-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（3{k}^{2}+1）}{12（3{k}^{2}+1）}$=2
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
不妨设P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则k₁+k₂=$\frac{3-\frac{\sqrt{3}}{2}}{4-1}+\frac{3+\frac{\sqrt{3}}{2}}{4-1}$=2为定值．
综上所述，k₁+k₂为定值，定值为2．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．