Question

6．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）当a的值为多少时满足PC⊥平面PAD？并求出此时该四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面垂直的性质，可得BC⊥平面PDC，即可证明PD⊥BC；
（2）取CD的中点为O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，由题意可得PC⊥PD，a=$\sqrt{2}$，PO=1，即可求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PDC，
∵PD?平面PDC，∴PD⊥BC…（5分）
（2）解：取CD的中点为O，连接PO
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，
且PO?平面PCD，PO⊥CD
∴PO⊥平面ABCD…（8分）
由题意可得PC⊥PD，a=$\sqrt{2}$，PO=1，…（10分）
此时该四棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}$×2²×1=$\frac{4}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直，面面垂直，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的性质是关键．