Question

15．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA=$\frac{\sqrt{3}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，
（1）求角A的大小；
（2）当a=$\sqrt{3}$时，求c²+b²的最大值，并判断此时三角形ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理及同角三角函数关系式化简已知等式可得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\sqrt{3}cb}{cosA•2bc}$，从而解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A为锐角，可解得A的值．
（2）由（1）及余弦定理可得：3=b²+c²-bc，利用基本不等式可得：3=b²+c²-bc≥$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$（当且仅当b=c时等号成立），解得c²+b²的最大值，根据A=$\frac{π}{3}$，
并可判断此时△ABC的形状为等边三角形．

解答 解：（1）∵锐角三角形ABC中，tanA=$\frac{\sqrt{3}cb}{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}$，
∴由余弦定理：c²+b²-a²=cosA•2bc可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\sqrt{3}cb}{cosA•2bc}$，从而解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由于A为锐角，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$
当a=$\sqrt{3}$时，由（1）及余弦定理可得：3=b²+c²-2bc×$\frac{1}{2}$，可得：3=b²+c²-bc≥$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$（当且仅当b=c时等号成立），解得c²+b²的最大值是6．
此时，b=c，故△ABC的形状为等腰三角形．
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的形状为等边三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，基本不等式的综合应用，涉及的知识点较多，综合性较强．