Question

已知椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（m，0）为椭圆外一定点，过A作直线l交椭圆于P、Q两点，且有|

AP

|=λ|

AQ

|，Q关于x轴的对称点为B，x轴上一点C，当l变化时，证明：点C在BP上的充要条件是C的坐标为（

a2

m

，0）．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：连接AB，由于B、Q关于x轴对称，可得|

AQ

|=|

AB

|，

| AP |

| AB |

=

| PC |

| CB |

=λ，

AP

=λ

AQ

，

PC

=λ

CB

．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），C（x₀，0），则B（x₂，-y₂），利用向量相等及

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，可得

(x1+λx2)(λx2-x1)

a2

=λ²-1，即可得出点C的坐标为（

a2

m

，0）．

解答： 证明：连接AB，
∵B、Q关于x轴对称，
∴|

AQ

|=|

AB

|，
又

| AP |

| AB |

=

| PC |

| CB |

=λ，依题意

AP

与

AQ

同向，

PC

与

CB

同向，
∴

AP

=λ

AQ

，

PC

=λ

CB

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），C（x₀，0），则B（x₂，-y₂），
可得y₁=λy₂，x₁-m=λ（x₂-m）①，
x₀-x₁=λ（x₂-x₀）②，
又

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
∴

(x1+λx2)(λx2-x1)

a2

=λ²-1③，
将①②代入③中得x₀=

a2

m

，
∴点C的坐标为（

a2

m

，0），
由于上述解题过程可逆，∴C在BP上的充要条件是C的坐标为（

a2

m

，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量运算、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．