Question

一个几何体的三视图及部分度量值如图所示，其中，正视图与侧视图都是由一个正方形和一个等腰三角形组成，俯视图是一个圆．
（1）判断该几何体的结构特征，并求其表面积；
（2）如果正视图中的点P是其所在线段的中点，点Q是其所在正方形的顶点，试求：在原几何体的侧面上，从P点到Q点的最短路径的长．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由三视图知：该几何体是一个圆锥加上一个同底圆柱，分别求出圆锥、圆柱的高和底面半径，代入表面积公式，可得答案；
（2）沿P点所在母线和Q点所在母线剪开圆柱，展开得圆柱的半个侧面，利用勾股定理可得从P点到Q点的最短路径的长．

解答： 解：（1）由三视图知：该几何体是一个圆锥加上一个同底圆柱，
且圆锥、圆柱的高分别为a，2a，底面半径为a，…（3分）
所以此几何体表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，
∴S=

1

2

×(2πa)×

2

a+(2πa)×2a+4πa2=(

2

+5)πa2，…（8分）
（2）沿P点所在母线和Q点所在母线剪开圆柱，展开得圆柱的半个侧面，
如图所示，
，
则PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=

1+π2

a，
∴在原几何体的侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为

1+π2

a．…（12分）

点评：本题考查的知识点是旋转体表面上的最短距离问题，由三视图求面积，体积，难度不大，属于基础题．