Question

（2011•临沂二模）下面四个命题：
①函数y=

1

x

在（2，

1

2

）处的切线与直线2x-y+1=0垂直；
②已知a=∫

π 0

（sint+cost）dt，则（x-

1

ax

）⁶展开式中的常数项为-

5

2

，
③在边长为1的正方形ABCD内（包括边界）有一点M，则△AMB的面积大于或等于

1

4

的概率为

3

4

④在一个2×2列联表中，由计算得K²=13，079，则其两个变量有关系的可能性是99.9%．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

其中所有正确的命题序号是

②④

．

Answer 1

分析：①错，先用导数的几何意义，求出该点处切线的斜率，就可求出垂线的斜率，进而求出垂线的方程与给的不符；
②对，先用积分的知识求出a的值，然后再用二项式定理可求出常数项；
③错，点M向AB作垂线先表达出△AMB的面积，然后面积积大于或等于

1

4

，得出高应满足的条件，知道点M所在的区域，就可算出概率；
④对，根据给出的表格，通过进行值得比较就可得出变量的相关关系．

解答：解：①错，∵f′(x)=-

1

x2

∴函数在（2，

1

2

）处切线的斜率k=-

1

22

= -

1

4

    那么与切线垂直的直线的斜率为4，与所给的直线斜率不符合
    ②对，a=∫₀^π（sint+cost）dt=（-cost+sint）|₀^π=2
∴(x-

1

ax

)6=(x-

1

2x

)6，通项Tr+1=

C

r 6

x6-r(-

1

2x

)r=Tr+1=

C

6 r

x6-2r(-

1

2

)r
    又因为是常数项，所以6-2r=0，即r=3
    常数项T4=

C

3 6

(-

1

2

)3=-

5

2

  ③错，如图由点M向AB作垂线，垂足为N，S△ABM=

1

2

×|AB|×|MN|=

1

2

|MN|≥

1

4

，即|MN|≥

1

2

，所以M点位于正方形的上半区域，故概率为

1

2

；
 
 ④对，∵K²=13，079＞10.828，∴有两个变量有关系的可能性是99.9%

点评：本题主要考查了导数的几何意义、积分、二项式定理、几何概型和独立性检验的有关知识．整体来说本题综合性比较强，所以难度中等．