Question

（本小题满分12分）
已知函数f (x)是正比例函数，函数g (x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2，
(1)求函数f (x)和g(x)；
(2)判断函数f (x)＋g(x)的奇偶性．
(3)求函数f (x)＋g(x)在(0，]上的最小值．

Answer 1

(1) f(x)＝x，g(x)＝.(2)函数f(x)＋g(x)是奇函数．
(3)函数f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.

本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数的解析式以及函数的最值的综合运用。
（1）设f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0然后结合已知中点的坐标的，饿到结论。
（2）设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋，
∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)得到证明。
（3）由(2)知h(x)＝x＋，设x₁，x₂是(0，]上的任意两个实数，且x₁<x₂，，然后运用定义法得到单调性，确定最值。
解：(1)设f(x)＝k₁x，g(x)＝，其中k₁k₂≠0.
∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k₁×1＝1，＝2.
∴k₁＝1，k₂＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝.
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋，
∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，
∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．
(3)由(2)知h(x)＝x＋，设x₁，x₂是(0，]上的任意两个实数，且x₁<x₂，
则h(x₁)－h(x₂)＝(x₁＋)－(x₂＋)＝(x₁－x₂)＋(－)
＝(x₁－x₂)(1－)＝，
∵x₁，x₂∈(0，]，且x₁<x₂，∴x₁－x₂<0,0<x₁x₂<2.
∴x₁x₂－2<0，(x₁－x₂)(x₁x₂－2)>0.
∴h(x₁)>h(x₂)．
∴函数h(x)在(0，]上是减函数，函数h(x)在(0，]上的最小值是h()＝2.
即函数f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.