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已知函数
(I)判断的奇偶性;
(Ⅱ)设函数在区间上的最小值为,求的表达式;
(Ⅲ)若,证明:方程有两个不同的正数解.
(I)既不是奇函数也不是偶函数
(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
(1)对参数a进行讨论,利用奇偶函数的定义,即可得出结论;
(2)当时,,然后转化为二次函数轴动区间定的最值问题来研究即可.
(3)利用图像法,把方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数来研究.
,若时,,方程可化为

y

 
,在同一直角坐标系中作出函数时的图像从图像确定函数的图像在第四象限有两个不同交点,从而证明方程有两个不同的正数解.

解:(I)时,是奇函数;……(1分)
时,既不是奇函数也不是偶函数.……(2分)
(II)当时,,函数图像的对称轴为直线.(3分)
,即时,函数上是增函数,所以
,即时,函数上是减函数,在上是增函数,
所以;……(5分)
,即时,函数上是减函数,
所以.……(6分)
综上, .……(7分)
(III)证法一:
,则时,,方程可化为
.……(8分)
,在同一直角坐标系中作出函数 时的图像…(9分)

因为,所以,即当
函数图像上的点在函数图像点的上方.……(11分)
所以函数的图像在第一象限有两个不同交点.
即方程有两个不同的正数解.…………(12分)
证法二:
,则时,,方程可化为
.…………(8分)

y

 
,在同一直角坐标系中作出函数时的图像.(9分)


因为,所以
即当时,函数图像上的点在函数图像点的上方.…………(11分)
所以函数的图像在第四象限有两个不同交点.
所以方程有两个不同的正数解.…………(12分)
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