(1)对参数a进行讨论,利用奇偶函数的定义,即可得出结论;
(2)当
时,
,然后转化为二次函数轴动区间定的最值问题来研究即可.
(3)利用图像法,把方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数来研究.
当
,若
时,
,方程可化为
即
.
令
,在同一直角坐标系中作出函数
,
在
时的图像从图像确定函数
与
的图像在第四象限有两个不同交点,从而证明方程
有两个不同的正数解.解:(I)
时,
是奇函数;……(1分)
时,
既不是奇函数也不是偶函数.……(2分)
(II)当
时,
,函数
图像的对称轴为直线
.(3分)
当
,即
时,函数
在
上是增函数,所以
;
当
,即
时,函数
在
上是减函数,在
上是增函数,
所以
;……(5分)
当
,即
时,函数
在
上是减函数,
所以
.……(6分)
综上,
.……(7分)
(III)证法一:
若
,则
时,
,方程可化为
,
即
.……(8分)
令
,
,在同一直角坐标系中作出函数
在
时的图像…(9分)
因为
,
,所以
,即当
时
函数
图像上的点在函数
图像点的上方.……(11分)
所以函数
与
的图像在第一象限有两个不同交点.
即方程
有两个不同的正数解.…………(12分)
证法二:
若
,则
时,
,方程可化为
,
即
.…………(8分)
令
,在同一直角坐标系中作出函数
,
在
时的图像.(9分)
因为
,
,所以
,
即当
时,函数
图像上的点在函数
图像点的上方.…………(11分)
所以函数
与
的图像在第四象限有两个不同交点.
所以方程
有两个不同的正数解.…………(12分)