Question

12．如图，已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|=a，线段PF₂与双曲线C交于点Q，若$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{1}{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$x
• C． y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 连接F₁Q，由向量共线定理可得|F₂Q|=$\frac{a}{5}$，|PQ|=$\frac{4a}{5}$，由双曲线的定义可得|F₁Q|=$\frac{11a}{5}$，运用向量的数量积的性质可得|F₁F₂|=|F₁P|=2c，在△F₁PQ和△QF₁F₂中，由∠PQF₁+∠F₂QF₁=π，可得cos∠PQF₁+cos∠F₂QF₁=0，运用余弦定理，化简整理可得b=$\frac{1}{2}$a，运用双曲线的渐近线方程即可得到．

解答 解：连接F₁Q，由|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|=a，$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，
可得|F₂Q|=$\frac{a}{5}$，|PQ|=$\frac{4a}{5}$，
由双曲线的定义可得|F₁Q|-|F₂Q|=2a，
即有|F₁Q|=$\frac{11a}{5}$，
由（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
即为（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$-$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）=0，
即有$\overrightarrow{{F}_{1}P}$²-$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$²=0，|F₁F₂|=|F₁P|=2c，
在△F₁PQ和△QF₁F₂中，由∠PQF₁+∠F₂QF₁=π，可得cos∠PQF₁+cos∠F₂QF₁=0，
由余弦定理可得，$\frac{（\frac{11a}{5}）^{2}+（\frac{4a}{5}）^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{11a}{5}•\frac{4a}{5}}$+$\frac{（\frac{a}{5}）^{2}+（\frac{11a}{5}）^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{a}{5}•\frac{11a}{5}}$=0，化简可得c²=$\frac{5}{4}$a²，
由c²=a²+b²，可得b=$\frac{1}{2}$a，可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即为y=±$\frac{1}{2}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．