Question

2．如图，已知AD为半圆O的直径，AB为半圆O的切线，割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，AB=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圆心O到割线BMN的距离；
（Ⅱ）求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BM=x（x＞0），则由切割线定理解得x=2，由勾股定理可得AC，过O作OP⊥MN于P，通过△ABC∽△POC，求出OP，得到圆心O到割线BMN的距离．
（Ⅱ）连结OM，在Rt△OPM中，求出OM，得到圆O的直径AD为$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，从而求出CD的长．

解答 解：（Ⅰ）设BM=x（x＞0），则由切割线定理可得BA²=BM•BN，又BM=MN=NC，
则（2$\sqrt{2}$）²=x（x+x），解得x=2，从而BC，
=6，由勾股定理可得AC=$\sqrt{{6}^{2}-{（2\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
过O作OP⊥MN于P，则CP=3，易证△ABC∽△POC，则$\frac{OP}{AB}=\frac{CP}{CA}$，所以OP=$\frac{AB•CP}{CA}$=$\frac{2\sqrt{2}×3}{2\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．
圆心O到割线BMN的距离：$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．
（Ⅱ）连结OM，在Rt△OPM中，OM=$\sqrt{{OP}^{2}+{PM}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$．
即圆O的直径AD为$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，从而CD的长为：2$\sqrt{7}$-$\frac{10\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查推理与证明，直线与圆相交的性质的应用，考查切割线定理以及勾股定理的应用．