Question

(19)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M为AB的中点.

(Ⅰ)证明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角S—CM—A的大小;

(Ⅲ)求点B到平面SCM的距离.

Answer 1

(19)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.

 

 

解法一：(Ⅰ)取AC中点D,连结DS、DB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥DS且AC⊥DB,

∴AC⊥平面SDB.

又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,

∴SD⊥平面ABC.

过D作DE⊥CM于E,连结SE,

则SE⊥CM,

∴∠SED为二面角S—CM—A的平面角.

由已知有DEAM,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.

在Rt△SDE中,tanSED==2,

∴二面角S—CM—A的大小为arctan2.

(Ⅲ)在Rt△SDE中,SE==,CM是边长为4的正△ABC的中线,

∴CM=2.

∴S_△SCM=CM·SE=×2×=.

设点B到平面SCM的距离为h,

由V_B—SCM=V_S—CMB,SD⊥平面ABC,得S_△SCM·h=S_△CMB·SD,

∴h==.

即点B到平面SCM的距离为.

解法二：(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,

平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A(2,0,0),C(－2,0,0),S(0,0,2),B(0,2,0).

∴ =(－4,0,0),=(0,－2,2).

∵·=(－4,0,0)·(0,－2,2)=0,

∴AC⊥BS.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1,,0).