Question

（19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑思维能力、空间想象力及运算能力.

（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC

由于　∠ACB=90°，即BC⊥AC，

由三垂线定理，得SC⊥BC.

 

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，

∴　∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得SC=＝4.

在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=＝.

∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.

 

（Ⅲ）解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.

又四边形ABCD是平行四边形，

DC=AB=＝，

SA＝＝2，

SD＝＝＝5.

在△SCD中

cosSCD＝

＝.

∴SC与AB所成的角的大小.