Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…）

Answer 1

解：（I）函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定义域是（0，+∞）．
①当a≤0时，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0时，f（x）的增区间为[1，+∞），
f（x）的减区间为（0，1]
②当上恒成立，．
∴．
③当a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2时，f（x）的增区间为（0，+∞）．
④当上恒成立，，∴，．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上单调增，在[1，2]上单调减，在[2，+∞）上单调增．
∴f（x）_极小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_极大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是（4ln2-8，-5）．
分析：（1）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．
（2）由a=4可根据（1）中所求确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值即可得到答案．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的单调区间的问题．