Question

若函数y=cos2x+

3

sin2x+a在[0，

π

2

]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由题意可得函数g（x）=

3

sin2x+cos2x 与直线y=-a在[0，

π

2

]上两个交点，数形结合可得a的取值范围．

解答： 解：由题意可得函数g（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

） 与直线y=-a在[0，

π

2

]上两个交点．
由于x∈[0，

π

2

]，故2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故g（x）∈[-1，2]．
令2x+

π

6

=t，则t∈[

π

6

，

7π

6

]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[

π

6

，

7π

6

]上有两个交点，如图：
要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤-a＜2，
a∈（-2，-1]
故答案为：（-2，-1]．

点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．