Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；
③到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；
④到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
①到原点的“折线距离”等于2的点的集合{（x，y）||x|+|y|=2}，是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形；
③|x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4，把横坐标x分成三段，x＜-1、-1≤x≤1与x＞1；把纵坐标y分成二段，y＜0与y≥0，共六种情况讨论，即可画图得到结论；
④|||x+1|+|y|-|x-1|-|y||=3，同上方法即得两直线为x=±

3

2

．

解答： 解：到原点的“折线距离”等于2的点的集合{（x，y）||x|+|y|=2}，是一个正方形，故①正确，
到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故②错误；
到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}={（x，y）||x+1|+|x-1|+2|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确；
到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的集合{（x，y）|||x+1|+|y|-|x-1|-|y||=3}={（x，y）|||x+1|-|x-1||=3}，集合是两条平行线，故④正确；
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．