Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|．若直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先设PF₁与圆相切于点M，利用|PF₂|=|F₁F₂|，及直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．

解答 解：解：设PF₁与圆相切于点M，
因为|PF₂|=|F₁F₂|，所以△PF₁F₂为等腰三角形，N为PF₁的中点，
所以|F₁M|=$\frac{1}{4}$|PF₁|，
又因为在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-a²=c²-a²，所以|F₁M|=b=$\frac{1}{4}$|PF₁|①
又|PF₁|=|PF₂|+2a=2c+2a   ②，
c²=a²+b² ③
由①②③可得c²-a²=（$\frac{c+a}{2}$）²，
即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．