Question

8．设函数f（x）=|x+1|
（1）求不等式f（x）＜2x的解集；
（2）若2^{f（x）+|x-a|}＞8对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为f（x）+|x-a|＞3对任意x∈R恒成立，即|a+1|＞3，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）＜2x，得：|x+1|＜2x，
则-2x＜x+1＜2x，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜2x}\\{x+1＞-2x}\end{array}\right.$，解得：x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）；
（2）∵f（x）+|x-a|=|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|，
又2^{f（x）+|x-a|}＞8=2³对任意x∈R恒成立，
即f（x）+|x-a|＞3对任意x∈R恒成立，
∴|a+1|＞3，解得：a＞2或a＜-4，
故a的范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．