Question

【题目】已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，且当直线倾斜角为时，与抛物线相交所得弦的长度为8.

（1）求抛物线的方程；

（2）若分别过点，两点作抛物线的切线，，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；最小面积为

【解析】

（1）根据题意求出直线倾斜角为时的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出；

（2）点关于直线的对称点为，可得，从而有，判断四边形是否存在外接圆，只需判断是否有，即是否垂直，根据切线的几何意义，求出的斜率，即可得出结论，如果存在外接圆，外接圆的直径为，要使外接圆面积最小，即求最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.

（1）由题意知，设点，，

当直线倾斜角为时，直线的方程为，

由得：，

所以.又由，所以，

所以抛物线的方程为.

（2）四边形存在外接圆.

设直线方程为，

代入中，得，则，

且，，

所以，

因为：，即，所以.

因此，切线的斜率为，切线的斜率为，

由于，所以，即是直角三角形，

所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，

所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆.

又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，

此时圆的面积最小，最小面积为.